高维斯图尔特公式
平面几何中非常有用的斯图尔特公式,是计算三角形的顶点到对边上一点的距离的公式。
类似地,计算高维欧氏单形的顶点到其余顶点所在的超平面上一点的距离,有高维斯图尔特公式。
本文介绍高维欧氏空间的斯图尔特公式,适合高中生和大学生阅读。
(一)平面几何的斯图尔特公式
斯图尔特定理的结论称为斯图尔特公式。
斯图尔特定理:设 是 的边 上任一点。则有如果 在直线 上,公式中出现的共线的线段 都理解为有向线段,则公式仍成立。斯图尔特公式包含了一些公式作为特殊情形。例如:
1. 中线长公式:若 为中线,则有2. 内角平分线长公式:若 为内角平分线,则有3. 外角平分线长公式:若 为外角平分线,则有(二)点组的仿射组合
为了便于表述高维斯图尔特公式,先介绍欧氏空间的点组的仿射组合的概念。
设 是 维欧氏空间 的点,实数 满足命题1设 使得对于某个 向量等式成立。则这个等式对于所有这就证明了命题2.
说法:表达式(三)
证明:由点组的仿射组合的意义,有向量等式
由此得到
这就完成了定理1的证明。
(四)
则有点组的仿射组合
由此立即得到平面几何的斯图尔特公式
(五)
根据欧氏空间的点组的仿射组合的系数的几何意义,可以给出高维斯图尔特公式的几何解释。
设
以
以
及仿射组合表达式
其中
(六)
斯图尔特定理连同证明,最早由苏格兰数学家斯图尔特 (Matthew Stewart, 1717–1785) 发表于1746年在爱丁堡出版的著作《在高等数学中有重要应用的一些一般定理》(见该书开篇的命题I及命题II)。
Matthew Stewart, Some General Theorems of Considerable Use in the Higher Parts of Mathematics, Edinburgh: Sands, Murray and Cochran, 1746.
关于高维斯图尔特公式,根据笔者查到的文献,Molnár (1961) 得到了一般公式及其几何解释;也可以参考 Fabricius-Bjerre (1971) 及 Bottema (1979).相关的文献信息如下:
Ferenc Molnár, Stewart tételének egy általánosításáról (A generalisation of Stewart's theorem). Mat. Lapok 12 (1961), 215–221.
Frederick Fabricius-Bjerre, Generalizations of Stewart's formula. Nordisk Mat. Tidskr. 19 (1971), 109–119.
Oene Bottema, Eine Erweiterung der Stewartschen Formel (A generalisation of Stewart's formula). Elem. Math. 34 (1979), no. 6, 138–140.
(七)
与斯图尔特定理密切相关的,还有 Luchterhandt 定理,将另文介绍。
虽然不是广为人知,高维斯图尔特公式是非常基本的公式,同时有助于更好地理解平面几何的斯图尔特定理。
这是好的数学定理的特点。
可以说,斯图尔特定理是一个好的数学定理。